Handbuch

Unsicherheitsfortpflanzung []

Manchmal kann die Messgröße nicht direkt gemessen werden, sondern muss aus anderen Messgrößen oder Referenzwerten berechnet werden. In diesen Fällen gibt es eine Gleichung, die beschreibt, wie die Eingangsgrößen mit der Ausgangsgröße zusammenhängen: die Messgleichung (auch: Messmodel). Um die Unsicherheit der Ausgangsgröße zu bestimmen, müssen die Unsicherheiten der Eingangsgrößen korrekt fortgepflanzt werden.

Regeln für Unsicherheitsfortpflanzung []

Betrachte folgendes Beispiel: Man möchte die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Läufers bestimmen. Dazu misst man eine bestimmte Strecke und anschließend die Zeit, die der Läufer für diese Strecke benötigt. Die Messgleichung für die Geschwindigkeit ist die Strecke dividiert durch die Zeit: \(v=\dfrac{s}{t}\).

Strecke und Zeit sind jeweils mit einer Unsicherheit behaftet, die zusammen eine Unsicherheit für die Geschwindigkeit ergeben. Diese Unsicherheit muss durch Fortpflanzung der Unsicherheiten der Strecke und der Zeit berechnet werden. Die Regeln für die Fortpflanzung der Unsicherheiten für einige gängige Funktionen sind in Tab. 4 dargestellt. In diesem Fall ist die Unsicherheit für die Geschwindigkeit gegeben durch: \(u_v=|v| \sqrt{\left( \dfrac{u_{s}}{s} \right)^2 + \left( \dfrac{u_{t}}{t} \right)^2}\).

Das Messergebnis der Strecke ist s = (50,0 ± 0,50) m und das Ergebnis der Zeitmessung ist t = (20,0 ± 1,0) s. Daraus ergibt sich eine Geschwindigkeit von v = (2,50 ± 0,13) m/s.

Tabelle 4: Die Regeln für die Fortpflanzung von Unsicherheiten für zwei unabhängige Variablen \(x\) und \(y\). Die Tabelle zeigt, wie die Unsicherheiten mit Hilfe der Gauß'schen Unsicherheitsfortpflanzung und den angenäherten Verfahren fortgepflanzt werden. Hier sind a und b Zahlen ohne Unsicherheit, σ ist die Standardabweichung der Verteilung und u ist die (angenäherte) Unsicherheit.

Funktion Gauß'schen Fortpflanzung Annäherung
\(z = ax\) \(\sigma_z = |a|\sigma_x\) \(u_z \approx |a|u_x\)
\(z = ax \pm by\) \(\sigma_z = \sqrt{a^2\sigma_x^2+b^2\sigma_y^2}\) \(u_z \approx au_x + bu_y\)
\(z = xy, z=\dfrac{x}{y}\) \(\sigma_z = |z| \sqrt{ \left( \dfrac{\sigma_x}{\vphantom{y}x} \right)^2+ \left( \dfrac{\sigma_y}{y} \right)^2}\) \(u_z \approx |z| \left( \dfrac{u_x}{|x|} + \dfrac{u_y}{|y|}\right)\)
\(z = ax^b\) \(\sigma_z = \left|z \dfrac{b\sigma_x}{x}\right|\) \(u_z \approx \left|z \dfrac{bu_x}{x}\right|\)
\(z = a \log_n(bx)\) \(\sigma_z = \left|a \dfrac{\sigma_x}{x\ln(n)}\right|\) —
\(z = a^{bx}\) \(\sigma_z = \sigma_z = |z b \ln(a)\sigma_x|\) —
\(z = a \sin(bx)\) \(\sigma_z=|ab\cos(bx)\sigma_x|\) —
\(z = a \cos(bx)\) \(\sigma_z=|ab\sin(bx)\sigma_x|\) —
\(z = a \tan(bx)\) \(\sigma_z = |ab\sec^2(bx)\sigma_x|\) —

Annäherung der Fortpflanzung []

Die rechte Spalte von Tab. 4 zeigt auch einige Näherungswerte für die Bestimmung der Unsicherheit [Näherungswerte aus [1, S. 275–277].

Für die Geschwindigkeitsmessung von vorher kann die Unsicherheit wie folgt berechnet werden: $$\displaylines{u_z =& |z| \left( \dfrac{u_x}{|x|} + \dfrac{u_y}{|y|}\right)\\ =& |v| \left(\dfrac{u_s}{|s|}+\dfrac{u_t}{|t|}\right)\\ =& 2{,}50\text{ m/s}\left(\dfrac{0{,}50\text{ m}}{50{,}00\text{ m}}+\dfrac{1{,}0\text{ s}}{20{,}0\text{ s}}\right)\\ =& 0{,}15\text{ m/s}.}$$ Daraus ergibt sich ein Messergebnis von v = (2,50 ± 0,15) m/s. Dies stellt eine leichte Überschätzung der Unsicherheit dar.

Für einige Funktionen gibt es keine Standardnäherung. Es gibt jedoch eine noch einfachere Annäherung für die Fortpflanzung der Unsicherheit, die immer verwendet werden kann. In diesen Fällen wird die Unsicherheit der berechneten Größe bestimmt, indem die Werte der Größen und ihre jeweiligen Unsicherheiten kombiniert werden, um das kleinste und das größte mögliche Ergebnis zu berechnen; dieser Bereich wird dann als Unsicherheit verwendet [1, S. 277–278].

Für die Geschwindigkeitsmessung wäre dies das folgende Verfahren. Die Geschwindigkeit wird berechnet als: \(v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{50{,}00\text{ m}}{20{,}0\text{ s}} = 2{,}50\text{ m/s}\).

Der größtmögliche Wert ergibt sich aus der Kombination der Messungen und ihrer Unsicherheiten wie folgt: $$\displaylines{ v =&\dfrac{s+u_s}{t-u_t}\\ =& \dfrac{50{,}5\text{ m}}{19\text{ s}}\\ =& 2{,}66\text{ m/s}.}$$ Für den kleinstmöglichen Wert: $$\displaylines{v =& \dfrac{s-u_s}{t+u_t}\\ =& \dfrac{49{,}5\text{ m}}{21\text{ s}}\\ =& 2{,}36\text{ m/s}.}$$ Die Unsicherheit wird nun nach der Methode der maximalen Abweichung bestimmt (siehe Gl. (9)): Die beiden Abweichungen sind: |2,50 m/s – 2,66 m/s| = 0,16 m/s und |2,50 m/s – 2,36 m/s| = 0,14 m/s. Die größere der beiden Abweichungen wird konservativ als Unsicherheit gewählt. Das Ergebnis ist nun v = (2,50 ± 0,16) m/s, was etwas größer ist als die vorherige Näherung.

Online Rechner für Unsicherheiten []

Es gibt Hinweise darauf, dass die manuelle Berechnung der Unsicherheit für die Lernenden von Vorteil ist [2]. Es gibt Fälle, in denen diese Berechnungsroutine von der Analyse der Daten und der Interpretation der Ergebnisse ablenkt [3]. Viele Unsicherheitsrechner sind online verfügbar, einer, der recht intuitiv funktioniert, ist hier zu finden: https://nicoco007.github.io/Propagation-of-Uncertainty-Calculator.

Literatur